Question

7．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx•cosωx+3cos²ωx-$\frac{1}{2}$（ω＞0），且f（x）的最小周期为$\frac{π}{2}$
（1）求函数f（x）的解析式及函数f（x）的对称中心；
（2）若3sin²$\frac{x}{2}$-$\sqrt{3}$m[f（$\frac{x}{8}$-$\frac{π}{12}$）-1]≥m+2对任意x∈[0，2π]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）首先，根据二倍角公式和降幂公式，辅助角公式化简函数解析式，然后，结合三角函数的性质求解对称中心即可；
（2）首先，化简不等式，然后，分离参数，最后，构造函数后，求解其最值，最后确定其取值范围．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sinωx•cosωx+3cos²ωx-$\frac{1}{2}$，
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{3（1+cos2ωx）}{2}$-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{3}{2}$cos2ωx+1
=$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$sin2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2ωx）+1
=$\sqrt{3}$sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）+1，
∵f（x）的最小周期为$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$，
∴ω=2，
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（4x+$\frac{π}{3}$），
由4x+$\frac{π}{3}$=kπ可得x=$\frac{k}{4}$π-$\frac{π}{12}$，
∴函数的对称中心为（$\frac{k}{4}$π-$\frac{π}{12}$，1）（k∈Z）；
（2）∵3sin²$\frac{x}{2}$-$\sqrt{3}$m[f（$\frac{x}{8}$-$\frac{π}{12}$）-1]≥m+2对任意x∈[0，2π]恒成立，
∴3sin²$\frac{x}{2}$-$\sqrt{3}$m[$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$+1-1]≥m+2，
即3sin²$\frac{x}{2}$-3msin$\frac{x}{2}$≥m+2对任意x∈[0，2π]恒成立，
即m≤$\frac{3si{n}^{2}\frac{x}{2}-2}{1+3sin\frac{x}{2}}$，
令sin$\frac{x}{2}$=t（0≤t≤1），
设y=$\frac{3{t}^{2}-2}{3t+1}$，
∴$y′=\frac{6t（3t+1）-3（3{t}^{2}-2）}{（3t+1）^{2}}$
=$\frac{9{t}^{2}+6t+6}{（3t+1）^{2}}$
显然，该函数在[0，1]上为增函数，
故它的最小值为-2，
∴m$≤\\;-2$-2，
∴实数m的取值范围（-∞，-2]．

点评 本题重点考查了三角公式、三角恒等变换、辅助角公式等知识，属于中档题．