Question

11．已知△ABC是非直角三角形．
（1）求证：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；
（2）若∠A＞∠B，且tanA=-2tanB，求证：tanC=$\frac{sin2B}{3-cos2B}$；
（3）在（2）的条件下，求tanC的最大值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两角和差的正切公式、诱导公式化简等式的左边，可得要证的等式成立．
（2）把tanA=-2tanB 代入（1）的结论，利用同角三角函数的基本关系、半角公式化简可得要证的等式成立．
（3）令y=tanC=$\frac{sin2B}{3-cos2B}$，利用辅助角公式、正弦函数的值域，求得y的最大值．

解答 解：（1）证明：∵△ABC是非直角三角形，∴tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1-tanAtanB）+tanC
=-tanC•（1-tanAtanB）+tanC=tanAtanBtanC，
故等式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC成立．
（2）证明：∵tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，且tanA=-2tanB，
∴-2tanB+tanB+tanC=-2tanBtanBtanC，
∴tanC=$\frac{-tanB}{-{2tan}^{2}B-1}$=$\frac{tanB}{1+{2tan}^{2}B}$=$\frac{cosBsinB}{{1+sin}^{2}B}$=$\frac{sin2B}{2+2•\frac{1-cos2B}{2}}$=$\frac{sin2B}{3-cos2B}$，
故要证的等式成立．
（3）在（2）的条件下，令y=tanC=$\frac{sin2B}{3-cos2B}$，可得sin2B+ycos2B=3y，
即 sin（2B+θ）=$\frac{3y}{\sqrt{{1+y}^{2}}}$ （sinθ=$\frac{y}{\sqrt{{1+y}^{2}}}$，cosθ=$\frac{1}{\sqrt{{1+y}^{2}}}$），
∴$\frac{3y}{\sqrt{{1+y}^{2}}}$≤1，求得 y≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$，即y的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题主要考查两角和差的正切公式、诱导公式、半角公式、辅助角公式的应用，正弦函数的值域，属于中档题．