Question

4．如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，N为AE的中点，AF=AB=BC=FE=$\frac{1}{2}$AD．
（1）证明：平面AMD⊥平面CDE；
（2）证明：BN∥平面CDE．

Answer 1

分析 （1）欲证平面AMD⊥平面CDE，即证CE⊥平面AMD，根据线面垂直的判定定理可知只需证CE与平面AMD内两相交直线垂直即可，易证DM⊥CE，MP⊥CE；
（2）取DE的中点Q，连接NQ，CQ，证明BCQN是平行四边形，所以BN∥CQ，利用线面平行的判定定理，即可证明BN∥平面CDE．

解答 证明：（1）因为DC=DE且M为CE的中点，
所以DM⊥CE．
设P为AD的中点，连接MP，则MP⊥CE．
又MP∩DM=M，
故CE⊥平面AMD．而CE?平面CDE，
所以平面AMD⊥平面CDE；
（2）取DE的中点Q，连接NQ，CQ，则NQ平行且等于$\frac{1}{2}$AD，
因为AD∥BC，BC=$\frac{1}{2}$AD，
所以NQ平行且等于BC，
所以BCQN是平行四边形，
所以BN∥CQ，
因为BN?平面CDE，CQ?平面CDE，
所以BN∥平面CDE．

点评 本题考查了线面平行，面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．