Question

15．已知函数f（x）=a-$\frac{1}{x}$-lnx．
（1）若a=2，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）=0恰有一个解，求a的值．

Answer 1

分析 （1）导数值即为该点处的斜率，点斜式可得切线方程．
（2）f（x）_max=f（1）=a-1，分类讨论，即可求得a的值．

解答 解：（1）∵a=2，∴f（1）=1．
∵f′（x）=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，∴f′（1）=0，
∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=1；
（2）f′（x）=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，∴f′（x）=0，x=1，
0＜x＜1，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，1）上单调递增；
x＞1，f′（x）＜0，函数f（x）在（1，+∞）上单调递减；
∴f（x）_max=f（1）=a-1．
①f（x）_max=0，a=1时，最大值点唯一，符合题意；
②f（x）_max＜0，即a＜1，f（x）＜0恒成立，符合题意；
③f（x）_max＞0，即a＞1，e^a＞1f（e^a）=-e^-a＜0，
∵e^-a＜1，f（e^-a）=2a-e^a≤ea-e^a＜0，则f（x）有两个零点，不符合题意
综上所述，a=1．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．