Question

（文） 已知矩形ABB₁A₁是圆柱体的轴截面，O、O₁分别是下底面圆和上底面圆的圆心，母线长与底面圆的直径长之比为2：1，且该圆柱体的体积为32π，如图所示．
（1）求圆柱体的侧面积S_侧的值；
（2）若C₁是半圆弧A₁B₁的中点，点C在半径OA上，且OC=

1

2

OA，异面直线CC₁与BB₁所成的角为θ，求sinθ的值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：计算题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）利用圆柱体的体积为32π，求出R，即可求圆柱体的侧面积S_侧的值；
（2）设D是线段A₁O₁的中点，联结D₁C，DC，O₁C₁，则C₁O₁⊥A₁B₁，CO∥BB₁，因此，∠C₁CD就是异面直线CC₁与BB₁所成的角，求出DC₁=

5

，CC₁=

69

，即可求sinθ的值．

解答： 解：（1）设圆柱的底面圆的半径为R，依据题意，有AA₁=2AB=4R，
∴πR²•AA₁=32π，
∴R=2．
∴S_侧=2πR•AA₁=32π．
（2）设D是线段A₁O₁的中点，联结D₁C，DC，O₁C₁，则C₁O₁⊥A₁B₁，CO∥BB₁．
因此，∠C₁CD就是异面直线CC₁与BB₁所成的角，即∠C₁CD=θ．
又R=2，∠C₁CD=，∠C₁O₁D=90°，
∴DC₁=

5

，CC₁=

69

．
∴sinθ=

5

69

=

345

69

．

点评：本题考查圆柱体的侧面积，考查异面直线所成的角，考查学生的计算能力，属于中档题．