Question

已知曲线C：xy=1，过C上一点A_n（x_n，y_n）作一斜率为k_n=的直线交曲线C于另一点A_n+1（x_n+1，y_n+1），点列{A_n}的横坐标构成数列{x_n}，其中x₁=．
（I）求x_n与x_n+1的关系式；
（II）令b_n=+，求证：数列{b_n}是等比数列；
（III）若c_n=3ⁿ-λb_n（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有c_n+1＞c_n成立．

Answer 1

【答案】分析：（I）由题意可得kn=-，利用k_n=，即可得到x_n与x_n+1的关系式；
（II）由b_n=+，可得b_n+1=-2（+），从而可得数列{b_n}是等比数列．
（III）c_n+1＞c_n成立等价于c_n+1-c_n=2×3ⁿ+3λ×（-2）ⁿ＞0恒成立，即恒成立，对n讨论，即可得到结论．
解答：（I）解：过C：xy=1上一点A_n（x_n，y_n）作斜率为k_n的直线交C于另一点A_n+1，则k_n=-
∵k_n=，∴-=
∴x_nx_n+1=-x_n+2；
（II）证明：∵b_n=+，∴b_n+1=+=+=-2（+），
∵x₁=，∴b₁=-2
∴数列{b_n}是等比数列．
（III）解：由（II）知，，则c_n+1＞c_n成立等价于c_n+1-c_n=2×3ⁿ+3λ×（-2）ⁿ＞0恒成立
即恒成立
①n为奇数时，，∴，∴λ＜1；
②n为偶数时，，∴
∴
∵λ为非零整数
∴λ=-1．
∴λ=-1，对任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n成立．
点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查恒成立问题，正确求通项是关键．