某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金.数目为a1.以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0).因此.历年所交纳的储务金数目a1.a2.-是一个公差为d的等差数列.与此同时.国家给予优惠的计息政策.不仅采用固定利率.而且计算复利.这就是说.如果固定年利率为r(r>0).那么.在第n年末.第一年所交纳的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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(本小题满分14分)某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a₁，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目a₁，a₂，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a₁（1＋r）^a^－1，第二年所交纳的储备金就变为a₂（1＋r）^a^－2，……，以T_n表示到第n年末所累计的储备金总额.
（Ⅰ）写出T_n与T_n－1（n≥2）的递推关系式；
（Ⅱ）求证：T_n＝A_n＋B_n，其中｛A_n｝是一个等比数列，｛B_n｝是一个等差数列.

（Ⅰ）

（2）证明见解析

解：（Ⅰ）我们有

．
（Ⅱ）

，对

反复使用上述关系式，得

， ①
在①式两端同乘

，得

②
②

①，得

．
即

．
如果记

，

，
则

．
其中

是以

为首项，以

为公比的等比数列；

是以

为首项，

为公差的等差数列．

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