Question

（Ⅰ）用定义证明函数f(x)=x+

4

x

在[2，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）用（Ⅰ）的结论求y=f（2^x）（x∈[0，3]）的最值及相应的x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函数单调性的定义证明函数单调性．
（Ⅱ）利用函数的单调性的性质求函数的最值．

解答：解：（Ⅰ）证明：（I）任取x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，则x₁-x₂＞0，x₂x₁＞4，
那么 f(x1)-f(x2)=x1+

4

x1

-(x2-

4

x2

)=(x1-x2)-

4(x2-x1)

x1x2

=(x1-x2)(1-

4

x1x2

)=

(x1-x2)(x2x1-4)

x1x2

＜0
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在[2，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）令2^x=t，则当x∈[0，3]时，t∈[1，8]，
由（Ⅰ）知，f(t)=t+

4

t

在[2，+∞）上递增，
同理可证f（t）在（0，2]上递减，
从而f(t)=t+

4

t

在[1，2]上递减，在[2，8]上递增，
故当t=2，即x=1时，y_min=4；
又当t=1，即x=0时，y=5；
当t=8即x=3时，y=

17

2

，
∵

17

2

＞4，
∴ymax=

17

2

，当x=3时取到．

点评：本题主要考查对勾函数的性质，以及利用函数的单调性求最值，考查学生的综合应用能力．