Question

已知f（x）为定义在R上的偶函数，x≥0时，f（x）=x²+4x+3，
（1）求x＜0时函数的解析式
（2）用定义证明函数在[0，+∞）上是单调递增
（3）写出函数的单调区间．

Answer 1

分析：（1）x＜0时，-x＞0，代入已知x≥0时，f（x）=x²+4x+3，可得f（-x）=x²-4x+3，根据偶函数的性质可求得f（x）=x²-4x+3；
（2）根据函数单调性的定义按五步走证明即可；
（3）根据二次函数的单调性分别求解两段函数的单调区间即可．

解答：解：（1）x＜0时，-x＞0
∵x≥0时f（x）=x²+4x+3，
∴f（-x）=x²-4x+3（2分）
∵y=f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x）（4分）
x＜0时，f（x）=x²-4x+3（6分）
∴f（x）=

x2+ 4x+3，x≥0 x2-4x+3，x＜0

（8分）
（2）设任意的x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，
所以有f（x₁）-f（x₂）=x₁²+4x₁-x₂²-4x₂=（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（x₁-x₂）=（x₁-x₂）（x₁+x₂+4），
因为0＜x₁＜x₂，
所以x₁-x₂＜0，x₁+x₂+4＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故函数y=x²+4x+3在x∈[0，+∞）是单调递增函数．
（3）由（1）知x＜0时，f（x）=x²-4x+3，根据二次函数的单调性可得函数的单调减区间（-∞，0）
x≥0时f（x）=x²+4x+3，根据二次函数的单调性可得函数的单调增区间[0，+∞）
所以函数的单调区间为：（-∞，0），[0，+∞）．

点评：本题主要考查了利用偶函数的对称性求解函数的解析式，函数单调性的判断与证明，函数的单调区间的求解，（3）中对每段函数求解单调区间时要注意函数的定义域．