Question

已知f（x）为定义在（-1，1）上的奇函数，当x∈（0，1）时，f(x)=

2x

2x+1

．
（1）证明函数f（x）在（0，1）是增函数
（2）求f（x）在（-1，1）上的解析式．

Answer 1

分析：（1）利用函数单调性的定义证明函数的单调性，先在区间上任取两一定大小的值，再通过作差法比较两值对应函数值的大小，最后判断单调性；（2）先求函数在（-1，0）上的解析式，利用奇函数的定义和已知解析式即可，再求f（0），最后将定义域上的函数的解析式写成分段函数

解答：解：①任取0＜x₁＜x₂＜1，
f(x1)-f(x2)=

2x1

2x1+1

-

2x2

2x2+1

=

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

∵0＜x₁＜x₂＜1
∴2x1＜2x2
2x1+1＞0，2x2+1＞0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（0，1）上是增函数
②当x∈（-1，0）时，-x∈（-1，0）
∴f(x)=-f(-x)=-

1

2x+1

当x=0时，f（x）=0
∴f(x)=

2x 2x+1   0 - 1 2x+1

0＜x＜1   x=0 -1＜x＜0

点评：本题考查了函数单调性的定义及其证明方法，函数的奇偶性及其应用，利用对称性求函数的解析式的方法