Question

给出下列命题：
①f(x)=

4-x2

+

x2-4

既是奇函数，又是偶函数；
②f（x）=x和f(x)=

x2

x

为同一函数；
③已知f（x）为定义在R上的奇函数，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，则f（x）在（-∞，+∞）上为增函数；
④函数y=

x

2x2+1

的值域为[-

2

4

，

2

4

]．
其中正确命题的序号是

①④

．

Answer 1

分析：由函数的解析式分析出函数f(x)=

4-x2

+

x2-4

的定义域，进而得到函数的图象，结合奇偶函数图象的对称性，可判断①的真假；
根据两个函数的定义域不一致，结合同函数的定义，可判断②的真假；
举出反例f（x）=

-1

x

，结合反比例函数的单调性，可以判断③的真假；
将函数解析式变形为y=

x

2x2+1

=

1

2x + 1 x

，结合基本不等式，分类讨论函数的值域，综合讨论结果可判断④的真假．

解答：解：函数f(x)=

4-x2

+

x2-4

的定义域为{-2，2}，其图象是点（-2，0）和（2，0），即关于原点对称也关于y轴对称，故f（x）既是奇函数，又是偶函数，即①正确；
f（x）=x的定义域为R，f(x)=

x2

x

的定义域为{x|x≠0}，故两者不为同一函数，故②错误；
已知f（x）=

-1

x

为定义在R上的奇函数，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，但函数在（-∞，+∞）上不为增函数，故③错误；
④函数y=

x

2x2+1

=

1

2x + 1 x

当x＞0时，2x +

1

x

≥2

2

，则y∈（0，

2

4

]
当x=0时，则y=0
当x＜0时，2x +

1

x

≤-2

2

，则y[-

2

4

，0）
综上，函数的值域为[-

2

4

，

2

4

]，故④正确．
故答案为：①④

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了函数的奇偶性，同一函数的定义，函数的单调性，函数的值域等，其中④函数值域的求解难度稍大，要注意基本不等式的应用．