Question

（2013•朝阳区二模）已知函数f（x）=a•2^|x|+1（a≠0），定义函数F(x)=

f(x)， x＞0 -f(x)， x＜0

给出下列命题：
①F（x）=|f（x）|； 
②函数F（x）是奇函数；
③当a＜0时，若mn＜0，m+n＞0，总有F（m）+F（n）＜0成立，
其中所有正确命题的序号是（　　）

A．②

B．①③

C．②③

D．①②

Answer 1

分析：由题意得，F（x）=

a•2x+1，x＞0 -a•2-x-1．x＜0

，再写出|f（x）|的表达式，它和F（x）并不是同一个函数，故①错误；利用函数奇偶性的定义可证得当x＞0或x＜0时，F（-x）=-F（x）；故函数F（x）是奇函数，②正确；当a＜0时，F（x）在（0，+∞）上是减函数，利用函数的单调性可得③正确．

解答：解：由题意得，F（x）=

a•2x+1，x＞0 -a•2-x-1．x＜0

，
而|f（x）|=

a•2|x|+1，f(x)＞0 -a•2|x|-1，f(x)＜0

，它和F（x）并不是同一个函数，故①错误；
∵函数f（x）=a•2^|x|+1是偶函数，
当x＞0时，-x＜0，则F（-x）=-f（-x）=-f（x）=-F（x）；
当x＜0时，-x＞0，则F（-x）=f（-x）=f（x）=-F（x）；
故函数F（x）是奇函数，②正确；
当a＜0时，F（x）在（0，+∞）上是减函数，
若mn＜0，m+n＞0，总有m＞-n＞0，
∴F（m）＜F（-n），即f（m）＜-F（n），
∴F（m）+F（n）＜0成立，故③正确．
故选C．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、命题的真假判断与应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．