Question

（2013•朝阳区二模）点P是棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面A₁B₁C₁D₁上一点，则

PA

•

PC1

的取值范围是（　　）

• A．[-1，-

  1

  4

  ]
• B．[-

  1

  2

  ，-

  1

  4

  ]
• C．[-1，0]
• D．[-

  1

  2

  ，0]

Answer 1

分析：建立空间直角坐标系，则点A（1，0，0），C₁ （0，1，1），设点P的坐标为（x，y，z），则由题意可得 0≤x≤1，
0≤y≤1，z=1，计算

PA

•

PC1

=x²-x，再利用二次函数的性质求得它的值域．

解答：解：如图所示：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD₁所在的直线为z轴，
建立空间直角坐标系．
则点A（1，0，0），C₁ （0，1，1），设点P的坐标为（x，y，z），则由题意可得 0≤x≤1，0≤y≤1，z=1．
∴

PA

=（1-x，-y，-1），

PC1

=（-x，1-y，0），
∴

PA

•

PC1

=-x（1-x）-y（1-y）+0=x²-x+y²-y=(x-

1

2

)2+(y-

1

2

)2-

1

2

，
由二次函数的性质可得，当x=y=

1

2

时，

PA

•

PC1

取得最小值为-

1

2

；
故当x=0或1，且y=0或1时，

PA

•

PC1

取得最大值为0，
则

PA

•

PC1

的取值范围是[-

1

2

，0]，
故选D．

点评：本题主要考查向量在几何中的应用，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．