Question

函数f（x）是定义在R上的奇函数，给出下列命题：
①f（0）=0；
②若f（x）在（0，+∞）上有最小值为-1，则f（x）在（-∞，0）上有最大值1；
③若f（x）在[1，+∞）上为增函数，则f（x）在（-∞，-1]上为减函数；
④若x＞0，f（x）=x²-2x；则x＜0时，f（x）=-x²-2x．
其中所有正确的命题序号是

①②④

．

Answer 1

分析：由函数f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（-0）=-f（0）可判断①
若f（x）在（0，+∞）上有最小值为-1，则根据奇函数的图形关于原点对称可在f（x）在（-∞，0）上有最大值1；
③若f（x）在[1，+∞）上为增函数，则根据奇函数在对称区间上的单调性相同可知f（x）在（-∞，-1]上为增函数；
④若x＞0，f（x）=x²-2x；则x＜0时，-x＞0，f（x）=-f（-x）代入可求

解答：解：由函数f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（-0）=-f（0）即f（0）=0
①f（0）=0；正确
②若f（x）在（0，+∞）上有最小值为-1，则根据奇函数的图形关于原点对称可在f（x）在（-∞，0）上有最大值1；正确
③若f（x）在[1，+∞）上为增函数，则根据奇函数在对称区间上的单调性可知f（x）在（-∞，-1]上为增函数；错误
④若x＞0，f（x）=x²-2x；则x＜0时，-x＞0，f（x）=-f（-x）=-[（-x）²-2（-x）]=-x²-2x．正确
故答案为①②④

点评：本题综合考查了奇函数的性质的应用；奇函数的性质f（0）=0、奇函数的图象关于原点对称、奇函数在对称区间上的单调性相同、及求解对称区间上的函数解析式等知识的简单应用．