Question

已知函数f（x）是定义在N^*的函数，且满足f（f（k））=3k，f（1）=2，设an=f(3n-1)，b₁=1，b_n-log₃f（a_n）=b₁-log₃f（a₁）．
（I）求b_n的表达式；
（II）求证：

b1

f(a1)

+

b2

f(a2)

+…+

bn

f(an)

＜

3

4

．

Answer 1

分析：（I）依题意．可求得f（a_n）=3ⁿ，从而可得log₃f（a_n）=n，继而由b_n-log₃f（a_n）=b₁-log₃f（a₁）可得b_n的表达式；
（II）令S_n=

b1

f(a1)

+

b2

f(a2)

+…+

bn

f(an)

，由（I）可知，S_n=

1

3

+

2

32

+…+

n

3n

，利用错位相减法即可求得S_n，从而可证结论．

解答：解：（I）∵a_n=f（3^n-1），
∴f（a_n）=f（f（3^n-1））=3•3^n-1=3ⁿ．
∴log₃f（a_n）=n，
同理，log₃f（a₁）=1，…（3分）
由b_n-log₃f（a_n）=b₁-log₃f（a₁）及b₁=1得b_n=n …（6分）
（II）证明：设S_n=

b1

f(a1)

+

b2

f(a2)

+…+

bn

f(an)

，
即S_n=

1

3

+

2

32

+…+

n

3n

…①
则

1

3

S_n=

1

32

+

2

33

+…+

n-1

3n

+

n

3n+1

…②…（9分）
①-②得 

2

3

S_n=

1

3

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

-

n

3n+1

=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-

n

3n+1

=

1

2

-（n+

3

2

）•

1

3n+1

＜

1

2

，
∴S_n＜

3

4

…（12分）

点评：本题考查数列的求和，着重考查错位相减法的应用，考查数列与不等式的综合应用，属于难题．