Question

已知集合A={x|x²-2ax-8a²＜0}，B={x|x²-5x=m²（x-1）-4，m∈R}．
（Ⅰ）若A=（x₁，x₂）且x₂-x₁=15，求实数a的值；
（Ⅱ）若存在实数m使得B⊆A，求实数a范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由A=（x₁，x₂）可知x₁，x₂是方程x²-2ax-8a²=0的两根，而方程x²-2ax-8a²=0的两根易求，从而根据x₂-x₁=15可得关于a的方程，解出即可；
（Ⅱ）分a＞0，a＜0两种情况进行讨论，易求得A，B，根据B⊆A，可得不等式组，解出即可，注意考虑m²+4≥4；

解答：解：（I）A=（x₁，x₂），即A={x|x²-2ax-8a²＜0}=（x₁，x₂），可知x₁，x₂是方程x²-2ax-8a²=0的两根，
又方程x²-2ax-8a²=0的两根为-2a和4a，
∴由x₂-x₁=15，可得|-2a-4a|=15，解得a=±

5

2

；
（II）B={x|x²-5x=m²（x-1）-4，m∈R}={m²+4，1}，
由（Ⅰ）知，①当a＞0时，-2a＜4a，A=（-2a，4a），
由B⊆A，得

a＞0 -2a＜1＜4a -2a＜m2+4＜4a

（*），
又m²+4≥4，∴（*）式等价于

a＞ 1 4 4＜4a

，解得a＞1；
②当a＜0时，4a＜-2a，A=（4a，-2a），
由B⊆A，得

a＜0 4a＜1＜-2a 4a＜m2+4＜-2a

（**），
又m²+4≥4，∴（**）式等价于

a＜- 1 2 4＜-2a

，解得a＜-2；
综上，实数a的取值范围是：（-∞，-2）∪（1，+∞）．

点评：本题考查一元二次不等式的解法和集合的包含关系，考查分类讨论思想，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力．