Question

对于定义域为[0，1]的函数f（x），若同时满足以下三个条件：
①f（1）=1；
②?x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
③当x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1时，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），则称函数f（x）为理想函数．
（Ⅰ）若函数f（x）为理想函数，求f（0）．
（Ⅱ）判断函数g（x）=2^x-1（x∈[0，1]）和函数（x∈[0，1]）是否为理想函数？若是，予以证明；若不是，说明理由．
（III）设函数f（x）为理想函数，若?x₀∈[0，1]，使f（x₀）∈[0，1]，且f[f（x₀）]=x₀，求证：f（x₀）=x₀．

Answer 1

解：（I）取x₁=x₂=0，代入f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），可得f（0）≥f（0）+f（0）
即f（0）≤0
由已知?x∈[0，1]，总有f（x）≥0可得f（0）≥0，
∴f（0）=0
（II）显然g（x）=2^x-1在[0，1]上满足g（x）≥0；②g（1）=1．
若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，
则有g（x₁+x₂）-[g（x₁）+g（x₂）]=-1-[（-1）+（-1）]=（-1）（-1）≥0
故g（x）=2^x-1满足条件①②③，所以g（x）=2^x-1为理想函数．
对应函数在x∈[0，1]上满足①h（1）=1； ②?x∈[0，1]，总有h（x）≥0；
③但当x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1时，例如=x₂时，h（x₁+x₂）=h（1）=1，而h（x₁）+h（x₂）=2h（）=，不满足条件③，则函数h（x）不是理想函数．
（III）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n-m∈[0，1]，
∴f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．
若f（x₀）＞x₀，则f（x₀）≤f[f（x₀）]=x₀，前后矛盾；
若：f（x₀）＜x₀，则f（x₀）≥f[f（x₀）]=x₀，前后矛盾．
故f（x₀）=x₀．
分析：（I）赋值可考虑取x₁=x₂=0，代入f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），可得f（0）≥f（0）+f（0），由已知f（0）≥0，可得f（0）=0
（II）要判断函数g（x）=2^x-1，（x∈[0，1]）在区间[0，1]上是否为“理想函数，只要检验函数g（x）=2^x-1，（x∈[0，1]是否满足题目中的三个条件
（III）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n-m∈[0，1]，f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．由此能够推导出f（x₀）=x₀．
点评：采用赋值法是解决抽象函数的性质应用的常用方法，而函数的新定义往往转化为一般函数性质的研究，本题结合指数函数的性质研究函数的函数的函数值域的应用，指数函数的单调性的应用．