[题目]已知椭圆C:()过点.离心率为.其左.右焦点分别为..O为坐标原点.直线l:与以线段为直径的圆相切.且直线l与椭圆C交于不同的A.B两点.(1)求椭圆C的方程,(2)若满足.求面积的取值范围. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】已知椭圆C：（）过点，离心率为.其左、右焦点分别为，，O为坐标原点.直线l：与以线段为直径的圆相切，且直线l与椭圆C交于不同的A，B两点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若满足，求面积的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根据题意题意列出方程组求解，即可求得椭圆方程；（2）由直线与椭圆相切用k表示m，联立直线与椭圆方程得关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出，根据向量数量积的坐标表示由求出k的范围，求出面积的表达式，利用换元法判断函数单调性求最值即可.

（1）因为椭圆C的离心率为，所以，则，

因为椭圆C过点，所以，

，代入上式可得，则，

所以椭圆的标准方程为.

（2）由（1）知以为直径的圆的方程为，

又直线l与该圆相切，所以，即.

由得，

因为直线l与椭圆C交于不同的两点，所以，

设，，

则，；

，

依题意，所以，

，

设则，

，，S关于t在上单调递增，

且，，

所以面积的取值范围是.

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