Question

【题目】已知点是抛物线的焦点，是其准线上任意一点，过点作直线，与抛物线相切，，为切点，，与轴分别交于，两点．

（1）求焦点的坐标，并证明直线过点；

（2）求四边形面积的最小值．

Answer 1

【答案】（1），证明见解析；（2）3

【解析】

（1）由点斜式设出直线的直线方程，再由在上，得出直线的方程，从而证明直线过点；

（2）将直线的方程与抛物线方程联立，结合韦达定理，抛物线的性质，点到直线的距离公式得出，，再由四边形的面积，结合导数得出四边形面积的最小值．

（1）由题意可知

设，则即

同理.

又在上,则,所以

所以直线过焦点F.

（2）由（1）知,代入得

则

则

到AB的距离,所以

由（1）知,则

所以,令

则四边形的面积

设，

当时，

即函数在上是增函数

则四边形面积的最小值为3