Question

【题目】一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中M，N分别是AF，BC的中点）．
（1）求证：MN∥平面CDEF；
（2）求多面体A﹣CDEF的体积．

Answer 1

【答案】
（1）解：由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE﹣BCF，

且AB=BC=BF=2，DE=CF=2 ，∴∠CBF= ．

证明：取BF的中点G，连接MG、NG，

由M，N分别为AF，BC的中点可得，NG∥CF，MG∥EF，

∴平面MNG∥平面CDEF，又MN平面MNG，

∴MN∥平面CDEF

（2）解：取DE的中点H．

∵AD=AE，∴AH⊥DE，

在直三棱柱ADE﹣BCF中，

平面ADE⊥平面CDEF，

平面ADE∩平面CDEF=DE．∴AH⊥平面CDEF．

∴多面体A﹣CDEF是以AH为高，以矩形CDEF为底面的棱锥，在△ADE中，AH= ．

S矩形CDEF=DEEF=4 ，

∴棱锥A﹣CDEF的体积为

V= S矩形CDEFAH= ×4 × =

【解析】由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE﹣BCF，且底面是一个直角三角形，由三视图中所标数据易计算出三棱柱中各棱长的值．（1）取BF的中点G，连接MG、NG，利用中位线的性质结合线面平行的充要条件，易证明结论（2）多面体A﹣CDEF的体积是一个四棱锥，由三视图易求出棱锥的底面面积和高，进而得到棱锥的体积．
【考点精析】掌握简单空间图形的三视图和直线与平面平行的判定是解答本题的根本，需要知道画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等；平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．