Question

4．设函数f（x）=bcosx+csinx的图象经过两点（0，1）和（$\frac{π}{2}$，$\sqrt{3}$），对一切x∈[0，π]，|f（x）+a|≤3恒成立，则实数a的取值范围[-2，1]．

Answer 1

分析 由题意代点可得b和c的值，由三角函数公式化简已知式子可得函数的值域，再由不等式可得-3-f（x）≤a≤3-f（x），由恒成立求最值可得．

解答 解：由题意可得f（0）=b=1，f（$\frac{π}{2}$）=c=$\sqrt{3}$，
∴f（x）=cosx+$\sqrt{3}$sinx=2sin（x+$\frac{π}{6}$），
又∵x∈[0，π]，∴x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴sin（x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]，
∵|f（x）+a|≤3恒成立，
∴-3≤f（x）+a≤3，
∴-3-f（x）≤a≤3-f（x），
∴a≥[-3-f（x）]_max=-2，且a≤[-3-f（x）]_min=1
∴实数a的取值范围为：[-2，1]
故答案为：[-2，1]

点评 本题考查三角函数公式的化简，涉及恒成立问题，属中档题．