Question

19．已知a为实数，函数f（x）=2x²+（x-a）|x-a|．
（Ⅰ）若f（0）≥1，求a的取值范围；
（Ⅱ）求f（x）的最小值g（a）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（0）=-a•|-a|，分当a≤0时和当a≥0时两种情况，分别求解满足f（0）≥1的a的取值范围，综合讨论结果，可得答案；
（Ⅱ）结合二次函数的图象和性质，进行分类讨论，求出各种情况下函数的最值，综合讨论结果，可得f（x）的最小值g（a）．

解答 解：（I）∵函数f（x）=2x²+（x-a）|x-a|．
∴f（0）=-a•|-a|，
当a≤0时，-a≥0，由f（0）=（-a）²≥1得：a≤-1，或a≥1，
即此时a≤-1，
当a≥0时，-a≤0，f（0）=-（a）²≥1无解，
综上所述：a≤-1，
（Ⅱ）当x＜a时，函数f（x）=2x²-（x-a）²=x²+2ax-a²，
当x≥a时，函数f（x）=2x²+（x-a）²=3x²-2ax+a²，
当a＜0时，函数f（x）在（-∞，$\frac{a}{3}$]上为减函数，在[$\frac{a}{3}$，+∞）上为增函数，故此时x=$\frac{a}{3}$时，函数取最小值g（a）=$\frac{2}{3}$a²，
当a≥0时，函数f（x）在（-∞，-a]上为减函数，在[a，+∞）上为增函数，故此时x=-a时，函数取最小值g（a）=-2a²，
综上所述：g（a）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{3}{a}^{2}，a＜0\\-2{a}^{2}，a≥0\end{array}\right.$

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．