Question

某公司有价值万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产品附加值，改造需要投入，假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足：①与和的乘积成正比；②时，；③，其中为常数，且。
（1）设，求表达式，并求的定义域；
（2）求出附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入。

Answer 1

（1）定义域为，为常数，且。
（2）当，投入时，附加值y最大，为万元当，投入时，附加值y最大，为万元函数有一个零点；当时，，函数有两个零点。函数有一个零点；当时，，函数有两个零点。

（1）设，当时，，可得：，∴
∴定义域为，为常数，且。   ………………7分
（2）
当时，即，时，
当，即，在上为增函数
∴当时，  ……………………14分
∴当，投入时，附加值y最大，为万元；
当，投入时，附加值y最大，为万元 ………15分