Question

已知函数f（x）=2+log₃x，x∈[1，9]，则函数y=[f（x）]²+f（x²）的值域为_

 

．

Answer 1

分析：先求出函数y=[f（x）]²+f（x²）的定义域，然后将函数化成关于log₃x的二次函数，进行配方找出对称轴，而0≤log₃x≤1，利用对称轴与区间的位置关系求出最值，即可求出值域．

解答：解：∵f（x）=2+log₃x，x∈[1，9]，
∴y=[f（x）]²+f（x²）的定义域为

1≤x≤9 1≤x2≤9.

解得1≤x≤3，即定义域为[1，3]．
∴0≤log₃x≤1．
又y=[f（x）]²+f（x²）
=（2+log₃x）²+2+log₃x²
=（log₃x）²+6log₃x+6
=（log₃x+3）²-3，
∵0≤log₃x≤1，
∴6≤y≤13．
故函数的值域为[6，13]．
故答案为：[6，13]

点评：本题以对数函数为载体考查二次函数的值域，属于求二次函数的最值问题，解题的关键是定义域，属于基本题．