Question

1．已知函数$f（x）={log_a}\frac{x-1}{x+1}\;（{a＞1}）$．
（1）求此函数的定义域D，并判断其奇偶性；
（2）是否存在实数a，使f（x）在x∈（1，a）时的值域为（-∞，-1）？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用真数大于0，求此函数的定义域D，利用f（-x）=-f（x），判断其奇偶性；
（2）由题意f（a）=-1，即$\frac{a-1}{a+1}$=$\frac{1}{a}$，从而得出结论．

解答 解：（1）由$\frac{x-1}{x+1}$＞0，可得x＜-1或x＞1，∴D={x|x＜-1或x＞1}；
f（-x）=-f（x），∴函数f（x）是奇函数；
（2）由题意，函数单调递增，f（a）=-1，即$\frac{a-1}{a+1}$=$\frac{1}{a}$，∵a＞1，∴$a=1+\sqrt{2}$．

点评 本题考查函数的定义域与值域，考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．