Question

11．若f（x）的定义域为R，f'（x）＞1恒成立，f（-1）=1，则f（x）＞x+2解集为（　　）

• A． （-1，1）
• B． （-1，+∞）
• C． （-∞，-1）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 根据条件构造函数g（x）=f（x）-x-2，求函数的导数，判断函数的单调性，将不等式进行转化求解即可．

解答 解：设g（x）=f（x）-x-2，则函数的导数g′（x）=f′（x）-1，
∵f'（x）＞1，
∴g'（x）＞0，即函数g（x）为增函数，
则f（x）＞x+2等价为f（x）-x-2＞0，
即g（x）＞0，
∵f（-1）=1，
∴g（-1）=f（-1）+1-2=1+1-2=0，
则g（x）＞0等价为g（x）＞g（-1），
则x＞-1，
即f（x）＞x+2解集为（-1，+∞），
故选：B

点评 本题主要考查不等式的求解，根据不等式构造函数，转化为函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．