Question

【题目】已知数列{an+1﹣2an}是公比为2的等比数列，其中a1=1，a2=4．
（1）证明：数列{ }是等差数列；
（2）求数列{an}的前n项和Sn；
（3）记Cn= （n≥2），证明： （ ）n＜ +…+ ≤1﹣（ ）n﹣1 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得an+1﹣2an=（a2﹣2a1）2n﹣1=2n…2分

两端同除 2n+1得： = ，所以数列 { }是以首项为 ，公差为 的等差数列

（2）解：由 （1）知 = n，所以an=n2n﹣1，

Sn=120+221+…+n2n﹣1，

则2Sn=221+222…+（n﹣1）2n﹣1+n2n，

相减得：﹣Sn=120+21+…+2n﹣1﹣n2n，

所以﹣Sn= ﹣n2n，

即Sn=（n﹣1）2n+1

（3）解：Cn=2n﹣2，（n≥2）

∵ = ，

∴ +…+ +…+ = = ﹣ ，

当≥2时，∵2n+1﹣2n=2n≥4，∴2n+1﹣4≥2n ，

∴ ，

∴ +…+ +…+ = =1﹣

所以原不等式得证

【解析】（1）由已知得an+1﹣2an=（a2﹣2a1）2n﹣1=2n得： = ，即数列 { }是等差数列； （2）由 （1）知 = n，所以an=n2n﹣1 ， 利用错位相减法可求数列{an}的前n项和Sn；（3）Cn=2n﹣2，（n≥2），利用 = 证明即可．
【考点精析】利用数列的前n项和对题目进行判断即可得到答案，需要熟知数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．