Question

【题目】以平面直角坐标系的原点为极点， 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系．已知点的参数方程为（为参数），点在曲线上．

（1）求在平面直角坐标系中点的轨迹方程和曲线的普通方程；

（2）求的最大值．

Answer 1

【答案】（1），曲线的普通方程为；（2）.

【解析】试题分析：（1）消参的普通方程，利用转化公式极坐标化普通方程；（2）数形结合，转化为线段上一点与圆上一点距离的最大值，注意利用垂线段最短及点与圆上点距离最大值的求法.

试题解析：（1）由消去参数，得，

又，∴，

故点的轨迹方程是，

∵，∴，∴，即，

故曲线的普通方程为.

（2）如图：

由题意可得，点的线段上，点在圆上，

∵圆的圆心到直线的距离，

∴直线与圆相切，且切点为，

易知线段上存在一点，

则点与圆心的连线，与圆的交点满足取最大值.

即当点坐标为时， 取最大值.

∵，

∴的最大值为.