Question

【题目】设公差大于0的等差数列的前项和为.已知，且成等比数列，记数列的前项和为.

（1）求；

（2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）(Ⅱ) ．

【解析】试题分析：

（1）利用条件解方程组求出首项和公差，即可写出通项公式，再利用裂项法求和；

（2）写出不等式，分离参数后，转化为求关于n的函数的最小值，利用均值不等式即可求出.

试题解析：

（Ⅰ）设{an}的公差为d(d>0)，

由S3=15有3a1+=15，化简得a1+d=5，①

又∵ a1，a4，a13成等比数列，

∴ a42=a1a13，即(a1+3d)2=a1(a1+12d)，化简3d=2a1，②

联立①②解得a1=3，d=2，

∴ an=3+2(n-1)=2n+1． ∴ ，

∴ ．

(Ⅱ) ∵ +11，即，

∴ ，又≥6 ，

当且仅当n=3时，等号成立，

∴ ≥162， ∴ ．