Question

（2012•陕西）（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A．（不等式选做题）若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立，则实数a的取值范围是

-2≤a≤4

．
B．（几何证明选做题）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB=6，AE=1，则DF•DB=

5

．
C．（坐标系与参数方程）直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为

3

．

Answer 1

分析：A；利用表示数轴上的x到a的距离加上它到1的距离，它的最大值等于3，作图可得实数a的取值范围．
B；利用相交弦定理AE•EB=CE•ED，AB⊥CD可得DE=

5

；在Rt△EDB中，由射影定理得：DE²=DF•DB=5，即得答案；
C；将直线与圆的极坐标方程化为普通方程分别为：x=

1

2

，（x-1）²+y²=1，从而可得相交弦长．

解答：解：A．∵存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立，
而|x-a|+|x-1|表示数轴上的x到a的距离加上它到1的距离，
又最大值等于3，由图可得：当表示a的点位于AB之间时满足|x-a|+|x-1|≤3，

∴-2≤a≤4，
故答案为：-2≤a≤4．
B；∵AB=6，AE=1，由题意可得△AEC∽△DEB，DE=CE，
∴DE•CE=AE•EB=1×5=5，即DE=

5

．
在Rt△EDB中，由射影定理得：DE²=DF•DB=5．
故答案为：5．
C；∵2ρcosθ=1，
∴2x=1，即x=

1

2

；
又圆ρ=2cosθ的普通方程由ρ²=2ρcosθ得：x²+y²=2x，
∴（x-1）²+y²=1，
∴圆心（1，0）到直线x=

1

2

的距离为

1

2

，
∴相交弦长的一半为

12-( 1 2 )2

=

3

2

，
∴相交弦长为

3

．
故答案为：

3

．

点评：本题A考查绝对值不等式的解法，绝对值的意义，求出|x-a|+|x-1|的最大值是3是解题的关键，考查作图与理解能力，属于中档题．
本题B考查与圆有关的比例线段，掌握相交弦定理与射影定理是解决问题的关键，而C着重简单曲线的极坐标方程，化普通方程是关键，属于中档题．