Question

（2012•陕西三模）设动点P（x，y）（x≥0）到定点F(

1

2

，0)的距离比到y轴的距离大

1

2

．记点P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设圆M过A（1，0），且圆心M在P的轨迹上，BD是圆M 在y轴的截得的弦，当M 运动时弦长BD是否为定值？说明理由；
（Ⅲ）过F(

1

2

，0)作互相垂直的两直线交曲线C于G、H、R、S，求四边形面GRHS的最小值．

Answer 1

分析：（1）由动点P（x，y）（x≥0）到定点F(

1

2

，0)的距离比到y轴的距离大

1

2

，知动点P（x，y）为以F(

1

2

，0)为焦点，直线l：x=-

1

2

为准线的抛物线，由此能求出点P的轨迹方程．
（2）设圆心M(

a2

2

，a)，半径r=

(1- a2 2 )2+a2

，圆的方程为(x-

a2

2

)2+(y-a)2=a2+(1-

a2

2

)2．由此能导出当M运动时弦长BD为定值．
（3）设过F的直线方程为y=k(x-

1

2

)，G（x₁，y₁），H（x₂，y₂）由

y=k(x- 1 2 ) y2=2x

，得k2x2-(k2+2)x+

k2

4

=0，由此能求出四边形GRHS的面积的最小值．

解答：解：（1））∵动点P（x，y）（x≥0）到定点F(

1

2

，0)的距离比到y轴的距离大

1

2

，
∴动点P（x，y）为以F(

1

2

，0)为焦点，直线l：x=-

1

2

为准线的抛物线，
∴点P的轨迹方程为y²=2x．
（2）设圆心M(

a2

2

，a)，半径r=

(1- a2 2 )2+a2

，
圆的方程为(x-

a2

2

)2+(y-a)2=a2+(1-

a2

2

)2，
令x=0，得B（0，1+a），D（0，-1+a），
∴BD=2
故弦长BD为定值2．
（3）设过F的直线方程为y=k(x-

1

2

)，
G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
由

y=k(x- 1 2 ) y2=2x

，得k2x2-(k2+2)x+

k2

4

=0，
由韦达定理得x1+x2=1+

2

k2

，
GH=2+

2

k2

同理得RS=2+2k²，
∴四边形GRHS的面积T=

1

2

(2+

2

k2

)(2+2k2)=2(2+k2+

1

k2

)≥8．
故四边形面GRHS的最小值为8．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，探索弦长是否为定值，求四边形面积的最小值．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．