Question

7．设f_n（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，f_n（-1）=（-1）ⁿ•n（n∈N^*），则f_n（$\frac{1}{3}$）与1的大小为（　　）

• A． f_n（$\frac{1}{3}$）＞1
• B． f_n（$\frac{1}{3}$）=1
• C． f_n（$\frac{1}{3}$）＜1
• D． 与n的大小有关

Answer 1

分析 求出函数的解析式，利用错位相减法，求出f_n（$\frac{1}{3}$），即可得出结论．

解答 解：由已知f₁（-1）=-a₁=-1，所以a₁=1
f₂（-1）=-a₁+a₂=2，所以a₂=3，
f₃（-1）=-a₁+a₂-a₃=-3，所以a₃=5
∵（-1）ⁿ⁺¹•a_n+1=f_n+1（-1）-f_n（-1）=（-1）ⁿ⁺¹•（n+1）-（-1）ⁿ•n
∴a_n+1=（n+1）+n
即a_n+1=2n+1
所以对于任意的n=1，2，3，a_n=2n-1，
∴f_n（x）=x+3x²+5x³+…+（2n-1）xⁿ
∴f_n（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{3}$+3（$\frac{1}{3}$）²+5（$\frac{1}{3}$）³+…+（2n-1）（$\frac{1}{3}$）ⁿ           ①
$\frac{1}{3}$f_n（$\frac{1}{3}$）=（$\frac{1}{3}$）²+3（$\frac{1}{3}$）³+5（$\frac{1}{3}$）⁴+…+（2n-1）（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹   ②
①─②，得
$\frac{2}{3}$f_n（$\frac{1}{3}$）=（$\frac{1}{3}$）+2（$\frac{1}{3}$）³+2（$\frac{1}{3}$）⁴+…+2（$\frac{1}{3}$）ⁿ-（2n-1）（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
=$\frac{2}{3}$-$\frac{2n-2}{3}$（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
∴f_n（$\frac{1}{3}$）=1-$\frac{n-1}{{3}^{n}}$
又n=1，2，3，故f_n（$\frac{1}{3}$）＜1．

点评 本题考查数列的通项与求和，考查错位相减法的运用，考查学生的计算能力，确定数列的通项，正确求和是关键．