Question

18．已知平面区域Ω={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤$\frac{1}{2}$}，曲线C：y=$\frac{1}{{x}^{2}+3x+2}$，点A为区域Ω内任意一点，则点A落在曲线C下方的概率是（　　）

• A． ln3-ln2
• B． 2ln3-2ln2
• C． 2ln2-ln3
• D． 4ln2-2ln3

Answer 1

分析 先利用定积分表示出点A为区域Ω内任意一点，点A落在曲线C下方的面积，然后求出区域Ω的面积，最后根据几何概型的概率公式进行求解即可．

解答 解：0≤x≤1时，y=$\frac{1}{{x}^{2}+3x+2}$＞0，且函数单调递减，
x=0时，y=$\frac{1}{2}$，x=1时，y=$\frac{1}{6}$，点A为区域Ω内任意一点，
则点A为区域Ω内任意一点，点A落在曲线C下方的面积为${∫}_{0}^{1}$$\frac{1}{{x}^{2}+3x+2}$dx=${∫}_{0}^{1}$$\frac{1}{x+1}$dx-${∫}_{0}^{1}$$\frac{1}{x+2}$dx=[ln（x+1）-ln（x+2）]${|}_{0}^{1}$=2ln2-ln3，
∵区域Ω的面积为$\frac{1}{2}$，
∴所求概率为4ln2-2ln3．
故选：D．

点评 本题主要考查了利用定积分表示曲边三角形的面积，以及几何概型的概率公式，属于中档题．