Question

（本题满分20分）设直线l₁：y＝k₁x＋1，l₂：y＝k₂x－1，其中实数k₁，k₂满足k₁k₂＋1＝0.

（Ⅰ）证明：直线l₁与l₂相交；（Ⅱ）试用解析几何的方法证明：直线l₁与l₂的交点到原点距离为定值．（Ⅲ）设原点到l₁与l₂的距离分别为d₁和d₂求d₁+d₂的最大值

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）反证法：假设l₁与l₂不相交，则l₁与l₂平行，有k₁＝k₂，代入k₁k₂＋1＝0，得＋2＝1.此与k₁为实数的事实相矛盾，从而k₁≠k₂，即l₁与l₂相交。（Ⅱ）由（Ⅰ）知由方程组解得交点P的坐标(x，y)为，而x²＋y²＝²＋²＝＝＝1.即l₁与l₂的交点到原点距离为1

（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）反证法：假设l₁与l₂不相交，则l₁与l₂平行，有k₁＝k₂，代入k₁k₂＋1＝0，得＋2＝1.此与k₁为实数的事实相矛盾，从而k₁≠k₂，即l₁与l₂相交。

（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）知由方程组

解得交点P的坐标(x，y)为

而x²＋y²＝²＋²＝＝＝1.

即l₁与l₂的交点到原点距离为1

方法二：交点P的坐标(x，y)满足故知x≠0，从而

代入k₁k₂＋1＝0，得＋1＝0.整理后，得x²＋y²＝1得证。

（Ⅲ）方法一：

方法二：为矩形，

当且仅当时取“=”

考点：本题考查了两直线的位置关系及距离公式的运用

点评：关于两条直线位置关系的问题，常常单独出现在选择题和填空题中，或作为综合题的一部分出现在解答题中，主要考查以下三种：一、判断两条直线平行和垂直；二、求点到直线的距离、平行线间的距离；三、求直线的交点或夹角及利用它们求参数等