Question

函数f(x)=[2sin(x+

π

3

)+sinx]cosx-

3

sin2x，(x∈R)．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若存在

x

0

∈[0，

5π

12

]，使不等式f（x₀）＜m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数函数f（x）的解析式为2sin(2x+

π

3

)，从而求出它的最小正周期．
（2）根据

x

0

∈[0，

5π

12

]，可得 sin(2

x

0

+

π

3

)∈[-

1

2

，1]，f（x₀）的值域为[-1，2]，若存在

x

0

∈[0，

5π

12

]，
使不等式f（x₀）＜m成立，m需大于f（x₀）的最小值．

解答：解：（1）∵f(x)=[2sin(x+

π

3

)+sinx]cosx-

3

sin2x 
=2sinxcosx+

3

cos2x-

3

sin2x =sin2x+

3

cos2x=2sin(2x+

π

3

)．
∴最小正周期T=

2π

2

=π．
（2）∵

x

0

∈[0，

5π

12

]，∴2

x

0

+

π

3

∈[

2

3

，

7π

6

]，
∴sin(2

x

0

+

π

3

)∈[-

1

2

，1]，
∴f（x₀）的值域为[-1，2]．
∵存在

x

0

∈[0，

5π

12

]，使f（x）＜m成立，
∴m＞-1，
故实数m的取值范围为（-1，+∞）．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，三角函数的值域，注意理解“存在

x

0

∈[0，

5π

12

]，使不等式f（x₀）＜m成立，”的意义，属于中档题．