Question

3．若正实数a，b满足$a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=5$，则a+b的最大值为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 正实数a，b满足$a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=5$，可得（a+b）[5-（a+b）]=（a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）$=2+$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$，再利用基本不等式的性质、一元二次不等式的解法即可得出．

解答 解：∵正实数a，b满足$a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=5$，
∴（a+b）[5-（a+b）]=（a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）$=2+$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$≥2+2$\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{b}{a}}$=4，当且仅当a=b=$\frac{1}{2}$或2时取等号．
∴（a+b）²-5（a+b）+4≤0，解得1≤a+b≤4，
则a+b的最大值为4．
故选：C．

点评 本题考查了基本不等式的性质、方程思想、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．