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已知函数f(x)=logax(x∈[1,6-a])的最大值为
12
,其中常数a>0,且a≠1.
(1)求a的值;
(2)设函数g(x)满足:①g(x)是定义在R上的偶函数,②对?x∈R,g(x+2)=g(x),③当x∈[1,6-a]时,g(x)=f(x).求函数g(x)在R上的解析式.
分析:(1)由f(1)=0可判断f(x)为增函数,从而有f(6-a)=
1
2
,解出即可;
(2)由②知函数g(x)的周期为2,由③知当x∈[1,2]时,g(x)=log4x,先求x∈[-1,1]时,g(x)表达式,则对?x∈R,存在k∈Z,使得x∈[2k-1,2k+1),由x-2k∈[-1,1)可求g(x);
解答:解:(1)由a>0,a≠1,6-a>1知0<a<5且a≠1,
当x∈[1,6-a]时,f(x)=logax是单调函数,由f(1)=0<
1
2
知f(x)是单调增函数,
故f(x)max=f(6-a)=loga(6-a)=
1
2

6-a=
a
,(
a
+3)(
a
-2)=0
,解得a=4;
(2)由②知函数g(x)是周期为2的周期函数,
由③知当x∈[1,2]时,g(x)=log4x,
由①知当x∈[-1,1]时,|x|≤1,2-|x|∈[1,2],g(x)=g(-|x|)=g(2-|x|)=log4(2-|x|).
对?x∈R,存在k∈Z,使得x∈[2k-1,2k+1),x-2k∈[-1,1),g(x)=g(x-2k)=log4(2-|x-2k|).    
故函数g(x)在R上的解析式为g(x)=log4(2-|x-2k|),其中x∈[2k-1,2k+1),k∈Z.
点评:本题考查函数奇偶性、周期性、单调性的综合应用,考查函数解析式的求解,综合性较强,运算量较大.
练习册系列答案
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已知函数f(x)=2x-2+ae-x(a∈R)
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(1)求函数y=f(x)的最小值;
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2(x-1)
x+1
恒成立;
(3)对于函数f(x)图象上的不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函数f(x)图象上存在点M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得点M处的切线l∥AB,则称直线AB存在“伴侣切线”.特别地,当x0=
x1+x2
2
时,又称直线AB存在“中值伴侣切线”.试问:当x≥e时,对于函数f(x)图象上不同两点A、B,直线AB是否存在“中值伴侣切线”?证明你的结论.

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1
f(n)
}的前n项和为Sn,则S2012的值为(  )

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(Ⅰ)求函数f(x)的极值点;
(Ⅱ)若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,求直线l的方程.

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已知函数f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)试就实数a的不同取值,写出该函数的单调增区间;
(2)已知当x>0时,函数在(0,
6
)上单调递减,在(
6
,+∞)上单调递增,求a的值并写出函数的解析式;
(3)记(2)中的函数图象为曲线C,试问是否存在经过原点的直线l,使得l为曲线C的对称轴?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.

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