Question

（2012•房山区一模）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA=

2 5

5

，cosB=

3 10

10

．
（Ⅰ）求cos（A+B）的值；
（Ⅱ）设a=

10

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由A，B，C分别为三角形的内角，及cosA与cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA和sinB的值，然后利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A+B），将各自的值代入即可求出值；
（Ⅱ）由cos（A+B）的值，利用特殊角的三角函数值求出A+B的度数，进而求出C的度数，得出sinC的值，再由a，sinA及sinB的值，利用正弦定理求出b的长，由a，b及sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：（本小题共13分）
解：（Ⅰ）∵A，B，C为△ABC的内角，且cosA=

2 5

5

，cosB=

3 10

10

，
∴sinA=

1-cos2A

=

5

5

，sinB=

1-cos2B

=

10

10

，…（4分）
∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=

2 5

5

×

3 10

10

-

5

5

×

10

10

=

2

2

；…（7分）
（Ⅱ）由（I）知，A+B=45°，
∴C=135°，即sinC=

2

2

，…（8分）
又a=

10

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：b=

asinB

sinA

=

10 × 10 10

5 5

=

5

，…（11分）
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×

10

×

5

×

2

2

=

5

2

．…（13分）

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：同角三角函数间的基本关系，两角和与差的余弦函数公式，正弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．