Question

规定C^m_x=

x(x-1)…(x-m+1)

m！

，其中x∈R，m是正整数，且C⁰_x=1，这是组合数C^m_n（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1）求C³_-15的值；
（2）设x＞0，当x为何值时，

C 3 x

(C 1 x )2

取得最小值？
（3）组合数的两个性质；
①C^m_n=C^n-m_m． ②C^m_n+C^m-1_n=C^m_n+1．
是否都能推广到C^m_x（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．
变式：规定A_x^m=x（x-1）…（x-m+1），其中x∈R，m为正整数，且A_x⁰=1，这是排列数A_n^m（n，m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1）求A_-15³的值；
（2）排列数的两个性质：①A_n^m=nA_n-1^m-1，②A_n^m+mA_n^m-1=A_n+1^m．（其中m，n是正整数）是否都能推广到A_x^m（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；
（3）确定函数A_x³的单调区间．

Answer 1

分析：（1）根据所给的组合数的推广式子，把组合数中的数字代入公式，写出公式的表示式，最后做出结果．
（2）根据组合数的推广式子，写出要求的结果，约分化简成最简形式，根据基本不等式求出式子的最小值，并求出取到最小值时对应的x的值．
（3）由题意知第一个性质不能推广，第二个式子能够推广，第一个性质只要举出反例就能够推翻，第二个式子可以进行证明，写出组合数的表示形式，化简整理，得到等式成立．
变式（1）根据所给的排列数的推广式子，把组合数中的数字代入公式，写出公式的表示式，最后做出结果
（2）两个式子都能够推广，分别证明两个性质是成立的，当n=1时，验证式子左右两边相等，当n不小于2时根据推广的排列数公式证明，得到结论成立．
（3）根据排列数公式，写出排列数的代数形式，本题是一个关于自变量的3次函数，要求单调区间需要对函数求导，根据导函数与零的关系得到函数的单调性，得到函数的单调区间．

解答：解：（1）

C

3 -15

=

(-15)(-16)(-17)

3!

=-680．
（2）

C 3 x

( C 1 x )2

=

x(x-1)(x-2)

6x2

=

1

6

(x+

2

x

-3)．
∵x＞0，x+

2

x

≥2

2

．
当且仅当x=

2

时，等号成立．
∴当x=

2

时，

C 3 x

( C 1 x )2

取得最小值．
（3）性质①不能推广，例如当x=

2

时，

C

1 2

有定义，但

C

2 -1 2

无意义；
性质②能推广，它的推广形式是C_x^m+C_x^m-1=C_x+1^m，m是正整数．
事实上，当m=1时，有C_x¹+C_x⁰=x+1=C_x+1¹．
当m≥2时．

C

m x

+

C

m-1 x

=

x(x-1)…(x-m+1)

m!

+

x(x-1)…(x-m-2)

(m-1)!

=

x(x-1)…(x-m+2)

(m-1)!

[

x-m+1

m

+1]=

x(x-1)…(x-m+2)(x+1)

m!

=

C

m x+1

．

变式：解：（Ⅰ）A_-15³=（-15）（-16）（-17）=-4080；
（Ⅱ）性质①、②均可推广，推广的形式分别是：
①A_x^m=xA_x-1^m-1，②A_x^m+mA_x^m-1=A_x+1^m（x∈R，m∈N₊）
事实上，在①中，当m=1时，左边=A_x¹=x，右边=xA_x-1⁰=x，等式成立；
当m≥2时，左边=x（x-1）（x-2）（x-m+1）
=x[（x-1）（x-2）（（x-1）-（m-1）+1）]=xA_x-1^m-1，
因此，①A_x^m=xA_x-1^m-1成立；
在②中，当m=1时，左边=A_x¹+A_x⁰=x+1=A_x+1¹=右边，等式成立；
当m≥2时，
左边=x（x-1）（x-2）（x-m+1）+mx（x-1）（x-2）（x-m+2）
=x（x-1）（x-2）（x-m+2）[（x-m+1）+m]=（x+1）x（x-1）（x-2）[（x+1）-m+1]=A_x+1^m=右边，
因此②A_x^m+mA_x^m-1=A_x+1^m（x∈R，m∈N₊）成立．
（Ⅲ）先求导数，得（A_x³）′=3x²-6x+2．
令3x²-6x+2＞0，解得x＜

3- 3

3

或x＞

3+ 3

3

．
因此，当x∈(-∞，

3- 3

3

)时，函数为增函数，
当x∈(

3+ 3

3

，+∞)时，函数也为增函数．
令3x²-6x+2＜0，解得

3- 3

3

＜x＜

3+ 3

3

．
因此，当x∈(

3- 3

3

，

3+ 3

3

)时，函数为减函数．
所以，函数A_x³的增区间为(-∞，

3- 3

3

)，(

3+ 3

3

，+∞)
函数A_x³的减区间为(

3- 3

3

，

3+ 3

3

)

点评：本题考查组合数和排列数的公式的推广，考查排列数和组合数的性质在推广以后是否适用，考查利用排列数和组合数的公式求解题的数值，考查函数的单调区间的求法，本题是一个综合题目，也是一个易错题．