Question

规定

C

m x

=

x(x-1)…(x-m+1)

m!

，其中x∈R，m是正整数，且C_X⁰=1．这是组合数C_n^m（n，m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1）求C_-15³的值；
（2）组合数的两个性质：①C_n^m=C_n^n-m；②C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m是否都能推广到C_x^m（x∈R，m∈N^*）的情形？若能推广，请写出推广的形式并给予证明；若不能请说明理由．
（3）已知组合数C_n^m是正整数，证明：当x∈Z，m是正整数时，C_x^m∈Z．

Answer 1

分析：（1）根据所给的组合数公式，写出C_-15³的值，这里与平常所做的题目不同的是组合数的下标是一个负数，在本题的新定义下，按照一般组合数的公式来用．
（2）C_n^m=C_n^n-m不能推广到C_x^m的情形，举出两个反例

C

1 2

，

C

2 -1 2

无意义；C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m能推广到C_x^m的情形，可以利用组合数的公式来证明，证明的方法同没有推广之情相同．
（3）可分三类讨论，x≥m与0≤x＜m 时易证得结论成立，当x＜0时，因为-x+m-1＞0，由定义中的运算公式展开再整理即可得到此种情况下也是成立的

解答：解：（1）由题意C_-15³=

-15×(-16)×(-17)

3!

=-C₁₇³=-680   …（4分）
（2）性质①C_n^m=C_n^n-m不能推广，例如x=

2

时，

C

1 2

有定义，但

C

2 -1 2

无意义；
性质②C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m 能推广，它的推广形式为C_x^m+C_x^m-1=C_x+1^m，x∈R，m∈N^*
证明如下：当m=1时，有C_x¹+C_x⁰=x+1=C_x+1¹；   …（1分）
当m≥2时，有C_x^m+C_x^m-1=

x(x-1)…(x-m+1)

m!

+

x(x-1)…(x-m+2)

(m-1)!

=

x(x-1)…(x-m+2)

(m-1)!

×(

(x-m+1)

m

+1)=

x(x-1)…(x-m+1)(x+1)

m!

=C_x+1^m，（6分）
（3）由题意，x∈Z，m是正整数时
当x≥m时，组合数C_x^m∈z成立；
当0≤x＜m 时，

C

m x

=

x(x-1)(x-2)???0???(x-m+1)

m!

=0∈Z，结论也成立；
当x＜0时，因为-x+m-1＞0，∴C_x^m=

x(x-1)…(x-m+1)

m!

=（-1）^m

(-x+m-1)…(-x+1)(-x)

m!

=（-1）^mC_-x+m-1^m∈z（7分）
综上所述当x∈Z，m是正整数时，C_x^m∈Z

点评：本题考查组合数公式，不是在一般的情况下应用组合数公式，而是对于组合数公式推广使用，是一个探究型题，题目解起来容易出错．在平时学习中这类题没有意义，价值不大