Question

8．已知α，β，γ是某三角形的三个内角，给出下列四组数据：
①sinα，sinβ，sinγ；②sin²α，sin²β，sin²γ；③${cos^2}\frac{α}{2}，{cos^2}\frac{β}{2}，{cos^2}\frac{γ}{2}$；④$tan\frac{α}{2}，tan\frac{β}{2}，tan\frac{γ}{2}$
分别以每组数据作为三条线段的长，其中一定能构成三角形的有（　　）

• A． 1组
• B． 2组
• C． 3组
• D． 4组

Answer 1

分析 设α，β，γ的对边分别为a，b，c，不妨令α≤β≤γ，则a≤b≤c，则a+b＞c，分别判断两个较小的边与最大边的差是否一定大于0，可得答案．

解答 解：∵α，β，γ是某三角形的三个内角，
设α，β，γ的对边分别为a，b，c，
不妨令α≤β≤γ，则a≤b≤c，则a+b＞c．
则①中，sinα=$\frac{a}{2R}$，sinβ=$\frac{b}{2R}$，sinγ=$\frac{c}{2R}$；
则$\frac{a}{2R}$+$\frac{b}{2R}$＞$\frac{c}{2R}$，故一定能构成三角形；
②中，sin²α=$\frac{{a}^{2}}{{4r}^{2}}$，sin²β=$\frac{{b}^{2}}{{4R}^{2}}$，sin²γ=$\frac{{c}^{2}}{{4R}^{2}}$，
由$\frac{{a}^{2}}{{4r}^{2}}$+$\frac{{b}^{2}}{{4R}^{2}}$＞$\frac{{c}^{2}}{{4R}^{2}}$仅在a²+b²-c²＞0，即cosγ＞0时成立，故不一定能构成三角形．
③中，${cos}^{2}\frac{α}{2}$+${cos}^{2}\frac{β}{2}$-${cos}^{2}\frac{γ}{2}$=$\frac{cosα+cosβ-cosγ}{2}$+$\frac{1}{2}$＞0恒成立．
恒成立，故一定能构成三角形，故③正确．
④中，当α=β=30°时γ=120°，tan$\frac{α}{2}$+tan$\frac{β}{2}$-tan$\frac{γ}{2}$＜0，故不一定能构成三角形，
故①③正确，
故选：B．

点评 本题考查了构成三角形的条件，三角函数的图象和性质，是三角函数较为综合的考查，难度较大，属于难题