Question

18．已知函数$f（x）=2sin（2ωx+\frac{π}{6}）+1$（其中0＜ω＜2），若直线$x=\frac{π}{6}$是函数f（x）图象的一条对称轴．
（1）求ω及f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上的单调递减区间．
（3）若函数g（x）=f（x）+a在区间$[{0，\frac{π}{2}}]$上的图象与x轴没有交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函数的图象的对称性求得ω，可得函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得f（x）的最小正周期．
（2）利用弦函数的单调性，求得函数f（x）在$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上的单调减区间．
（3）利用正弦函数的定义域和值域，求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）由题可知：2ω•$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，故有ω=3k+1，k∈Z，
又∵0＜ω＜1，∴ω=1，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，由此可得函数的周期为T=π．
（2）令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，可得$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z，
∵$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$，故函数f（x）在$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上的单调减区间为$[{-\frac{π}{2}，-\frac{π}{3}}]$和$[{\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}]$．
（3）令g（x）=0得g（x）=f（x）+a=0可得a=-1-2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
在$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴-1-2sin（2x+$\frac{π}{6}$）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的值域为[-3，0]．
为使函数g（x）=f（x）+a在区间$[{0，\frac{π}{2}}]$上的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为a＜-3或a＞0．

点评 本题主要考查正弦函数的图象的对称性、正弦函数的周期性、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．