Question

7．已知{a_n}是等差数列，满足a₂=6，a₅=15，数列{b_n}满足b₂=8，b₅=31，且{b_n-a_n}为等比数列．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）通过a₂=6、a₅=15可求出公差，进而可得通项公式a_n=3n；通过q³=$\frac{{b}_{5}-{a}_{5}}{{b}_{2}-{a}_{2}}$=8可得公比，进而可得{b_n-a_n}的通项公式，从而${b}_{n}=3n+{2}^{n-1}$；
（2）通过（1）可知${b}_{n}=3n+{2}^{n-1}$，进而利用分组法求和可得结论．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由题意得d=$\frac{{a}_{5}-{a}_{2}}{3}=\frac{15-6}{3}=3$，
所以a₁=3，所以a_n=a₁+（n-1）d=3n（n?N₊）．
设等比数列{b_n-a_n}的公比为q，由题意得q³=$\frac{{b}_{5}-{a}_{5}}{{b}_{2}-{a}_{2}}$=8，
解得q=2．所以${b}_{n}-{a}_{n}=（{b}_{2}-{a}_{2}）{q}^{n-2}={2}^{n-1}（n?{N}_{+}）$，
所以${b}_{n}=3n+{2}^{n-1}$（n?N₊）．
（2）由（1）知${b}_{n}=3n+{2}^{n-1}$，数列{a_n}的前n项和为$\frac{3}{2}$n（n+1），
数列{2^n-1}的前n项和为2ⁿ-1．
所以数列{b_n}的前n项和为$\frac{3}{2}$n（n+1）+2ⁿ-1．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查分组法求和，注意解题方法的积累，属于中档题．