Question

12．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，2sinA），$\overrightarrow{n}$=（c，a）若$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若c=$\sqrt{7}$，且△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求a+b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据向量的数量积以及正弦定理可得sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可求出C；
（Ⅱ）根据三角形的面积公式和余弦定理即可求出．

解答 解：（Ⅰ）由$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$得$\sqrt{3}$a=2csinA，及正弦定理得$\sqrt{3}$sinA=2sinCsinA，
∵A∈（0，π），
∴sinA≠0，
∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵△ABC中是锐角三角形，
∴C=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴ab=6，
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，
∴7=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab═（a+b）²-18，
解得a+b=5或a+b=-5（舍），
∴a+b=5．

点评 本题考查了向量的数量积的运算和正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，考查了学生的运算能力，属于中档题