Question

3．数列{a_n}满足${2^n}{a_n}={2^{n+1}}{a_{n+1}}-1$，且a₁=1，若${a_n}＜\frac{1}{5}$，则n的最小值为（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 依题意，得${2}^{n+1}{a}_{n+1}-{2}^{n}{a}_{n}=1$，可判断出数列{2ⁿa_n}为公差是1的等差数列，进一步可求得2¹a₁=2，即其首项为2，从而可得a_n=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，继而可得答案．

解答 解：∵${2^n}{a_n}={2^{n+1}}{a_{n+1}}-1$，即${2}^{n+1}{a}_{n+1}-{2}^{n}{a}_{n}=1$，
∴数列{2ⁿa_n}为公差是1的等差数列，
又a₁=1，
∴2¹a₁=2，即其首项为2，
∴2ⁿa_n=2+（n-1）×1=n+1，
∴a_n=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$．
∴a₁=1，a₂=$\frac{3}{4}$，a₃=$\frac{1}{2}$，a₄=$\frac{5}{16}$＞$\frac{1}{5}$，a₅=$\frac{6}{32}$=$\frac{3}{16}$＜$\frac{3}{15}$=$\frac{1}{5}$，
∴若${a_n}＜\frac{1}{5}$，则n的最小值为5，
故选：B．

点评 本题考查数列递推式，判断出数列{2ⁿa_n}为公差是1的等差数列，并求得a_n=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$是关键，考查分析应用能力．属于中档题．