Question

17．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x-3．
（1）求f（3）+f（-1）的值；
（2）求f（x）在R上的解析式；
（3）画出函数f（x）的图象，并写出函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用函数的解析式，通过函数f（x）是定义在R上的奇函数，化简求解即可．
（2）求出当x＜0，时的函数的解析式f（x）=x+3，然后求解函数的解析式即可．
（3）利用函数的解析式画出函数的图象即可．

解答 解：（1）因为3＞0，所以f（3）=3-3=0，
又函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（-1）=-f（1）=-（1-3）=2，
故f（3）+f（-1）=0+2=2．
（2）由题意，当x＜0，即-x＞0时，则f（-x）=-x-3，
又f（-x）=-f（x），所以f（x）=x+3，
故所求函数f（x）在R上的解析式为$f（x）=x\left\{\begin{array}{l}x-3，x＞0\\ 0，x=0\\ x+3，x＜0\end{array}\right.$．
（3）图象如图所示．

由图可得，函数的单调递增区间为（-∞，0）和（0，+∞）．

点评 本题考查函数的图象以及函数的解析式的求法，函数值的求法，考查计算能力．