Question

已知函数，
（1）求f（x）的最小正周期和单调减区间；
（2）若f（x）＜m+2在上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）
=1-cos（-2x）-cos2x
=1-sin2x-cos2x
=1-2sin（2x+），
故最小正周期T==π，
由-+2kπ≤2x++2kπ，得-+kπ≤x≤+kπ（k∈Z），
所以函数f（x）的最小正周期为π，单调减区间为[+kπ，+kπ]（k∈Z）．
（2）x∈[0，]，则2x+∈[，]，则sin（2x+）∈[，1]，
则f（x）∈[-1，1-]，即f（x）在上的值域为[-1，1-]．
因为f（x）＜m+2在上恒成立，所以m+2＞1-，
解得m＞-1-．
所以实数m的取值范围为（-1-，+∞）．
分析：（1）对函数f（x）进行变形，使f（x）=Asin（ωx+φ）+B（ω＞0）的形式，可求其最小正周期，再根据复合函数单调性的判断方法可求其减区间；
（2）要使f（x）＜m+2在上恒成立，只要x∈[0，]时f（x）_max＜m+2即可．
点评：本题考查函数恒成立问题及三角函数的周期性、单调性，函数恒成立问题往往需要转化为函数最值问题进行处理．