Question

16．平面直角坐标系xOy中，P是不在x轴上一个动点，满足条件：过P可作抛物线y²=4x的两条切线，两切点连线l_P与PO垂直，设直线l_P与PO，x轴的交点分别为Q，R．
（1）证明：R是一个定点；
（2）求$\frac{|PQ|}{|QR|}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出直线l_P的方程为ny=2（m+x），利用两切点连线l_P与PO垂直，$\frac{2}{n}×\frac{n}{m}$=-1，即可得证；
（2）直线PO的方程为y=$\frac{n}{m}$x=-$\frac{n}{2}$x，代入直线l_P的方程，求得Q的坐标，进而得到|PQ|，|QR|，运用基本不等式即可得到最小值．

解答 （1）证明：设以A（x₁，y₁）为切点的切线方程为y-y₁=k（x-x₁），
联立抛物线方程，可得ky²-4y+4y₁-4kx₁=0，
由△=4（2-ky₁）²=0，
得k=$\frac{2}{{y}_{1}}$，所以切线PA：y₁y=2（x+x₁）
同理以B（x₂，y₂）为切点的切线方程为y₂y=2（x+x₂），
设P（m，n），则ny₁=2（m+x₁），ny₂=2（m+x₂），
∴直线l_P的方程为ny=2（m+x），
∵两切点连线l_P与PO垂直，
∴$\frac{2}{n}×\frac{n}{m}$=-1，
∴m=-2，
∴直线l_P的方程为ny=2（x-2），
∴R（2，0）为定点；
（2）解：直线PO的方程为y=$\frac{n}{m}$x=-$\frac{n}{2}$x，代入直线l_P的方程，求得Q（$\frac{8}{{n}^{2}+4}$，$\frac{-4n}{{n}^{2}+4}$），
∴|PQ|=$\sqrt{（\frac{8}{{n}^{2}+4}+2）^{2}+（\frac{4n}{{n}^{2}+4}+n）^{2}}$=$\frac{（{n}^{2}+8）\sqrt{{n}^{2}+4}}{{n}^{2}+4}$，
|QR|=$\sqrt{（\frac{8}{{n}^{2}+4}-2）^{2}+（\frac{4n}{{n}^{2}+4}）^{2}}$=$\frac{2n\sqrt{{n}^{2}+4}}{{n}^{2}+4}$，
如图，由对称性，不妨取n＞0，则$\frac{|PQ|}{|QR|}$=$\frac{1}{2}$（n+$\frac{8}{n}$）≥2$\sqrt{2}$，∴求$\frac{|PQ|}{|QR|}$的最小值为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的方程的运用，联立直线方程，运用判别式为0，同时考查直线垂直的条件，考查运算求解能力，属于中档题．