Question

10．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=0处取得极大值2，其图象在x=1处的切线与直线x-3y+2=0垂直．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈（-∞，$\sqrt{3}$]时，不等式xf′（x）≤m-6x²+9x恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，列出方程组，解出即可；
（2）问题转化为当x∈（-∞，$\sqrt{3}$]时，m≥3x³-9x恒成立，设g（x）=3x³-9x，通过求导得到函数g（x）的最大值即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
由已知得$\left\{\begin{array}{l}f（0）=2\\ f'（1）=-3\\ f'（0）=0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{c=2}\\{3+2a=-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
于是f（x）=x³-3x²+2．
（2）xf′（x）≤m-6x²+9x
?x（3x²-6x）≤m-6x²+9x?m≥3x³-9x，
当x∈（-∞，$\sqrt{3}$]时，xf′（x）≤m-6x²+9x恒成立，
?当x∈（-∞，$\sqrt{3}$]时，m≥3x³-9x恒成立，
设g（x）=3x³-9x，则g′（x）=9（x+1）（x-1），
g（x）在（-∞，-1）及（1，$\sqrt{3}$）上是增函数，在（-1，1）上是减函数，
从而g（x）在x=-1处取得极大值g（-1）=6，
又g（$\sqrt{3}$）=0，所以g（x）的最大值是6，故m≥6．

点评 本题考查了求函数的解析式问题，考查函数恒成立问题，考查导数的应用，是一道中档题．