Question

已知函数f(x)＝()^x，
函数y＝f^－1(x)是函数y＝f(x)的反函数．
(1)若函数y＝f^－1(mx²＋mx＋1)的定义域为R，求实数m的取值范围；
(2)当x∈[－1,1]时，求函数y＝[f(x)]²－2af(x)＋3的最小值g(a)；
(3)是否存在实数m＞n＞3，使得g(x)的定义域为[n，m]，值域为[n²，m²]？若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由

Answer 1

(1)∵f^－1(x)
＝logx(x＞0)，
∴f^－1(mx²＋mx＋1)
＝log(mx²＋mx＋1)，由题知，mx²＋mx＋1＞0恒成立，
∴①当m＝0时，1＞0满足题意；
②当m≠0时，
应有
⇒0＜m＜4，
∴实数m的取值范围为
0≤m＜4.
(2)∵x∈[－1,1]，
∴()^x∈[，3]，
y＝[f(x)]²－2af(x)＋3
＝[()^x]²－2a()^x＋3
＝[()^x－a]²＋3－a²，
当a＜时，
y_min＝g(a)＝－；
当≤a≤3时，
y_min＝g(a)＝3－a²；
当a＞3时，y_min＝g(a)
＝12－6a.
∴g(a)
＝
(3)∵m＞n＞3，且g(x)＝12－6x在(3，＋∞)上是减函数．
又g(x)的定义域为[n，m]，值域为[n²，m²]．
∴
②－①得：6(m－n)＝(m＋n)(m－n)
∵m＞n＞3，∴m＋n＝6.但这与“m＞n＞3”矛盾．
∴满足题意的m、n不存在．

略